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离线裂痕

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只看楼主正序阅读使用道具 0楼发表于: 2008-08-28

  小狗和幸福的故事有一只小狗,问它的妈妈说:妈妈,妈妈,幸福在哪里?" 它的妈妈说:"孩子,幸福就在你的尾巴上." 于是,小狗总是整天想咬住它的尾巴,而总是在原地绕圈,可就是咬不到,它又问妈妈说:妈妈,妈妈,为什么我抓不到幸福呢?" 妈妈心平气和的告诉它：你不用追到它呀，只要你一直往前走，幸福就会一直跟在你身后.

一个数学问题
在座标平面上，兔子由（0,0）出发，以等速 q 沿着 x 轴向右逃跑，狗由（0,a）出发， a ＞ 0，以等速 p 追兔子，请讨论狗在何时可以追上兔子?
  狗不会提前计算,他只会一味的追逐兔子,随着兔子的位置来改变方向.所以狗头始终瞄准兔子.

设狗跑的路径为

，

，则有

=800) window.open('http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_9.gif');\" style=\"max-width:800px;\" onload=\"if(is_ie6&&this.offsetWidth>800)this.width=800;\" > .........（1）

=800) window.open('http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_10.gif');\" style=\"max-width:800px;\" onload=\"if(is_ie6&&this.offsetWidth>800)this.width=800;\" > ........................（2）

由（2）

两边对

微分，得

令

，得

=800) window.open('http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_15.gif');\" style=\"max-width:800px;\" onload=\"if(is_ie6&&this.offsetWidth>800)this.width=800;\" >                                        ................（3）


                                    将（1）除以

，得

因此

=800) window.open('http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_18.gif');\" style=\"max-width:800px;\" onload=\"if(is_ie6&&this.offsetWidth>800)this.width=800;\" > ............（4）

将（4）代入（3），得

=800) window.open('http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_19.gif');\" style=\"max-width:800px;\" onload=\"if(is_ie6&&this.offsetWidth>800)this.width=800;\" > ................（5）

以

表

，（5）写成

分离变数法：

积分：

初始值：

[img]http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_27.gif[/img]

                                  因此

[img]http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_28.gif[/img]

                                  两边平方后整理：[img]http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_29.gif[/img]，[img]http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_30.gif[/img]，[img]http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_31.gif[/img]。

[img]http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_32.gif[/img]

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          [img]http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_33.gif[/img]                                        .............（6）

                                  第一种情形：[img]http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_34.gif[/img]，
                                  [img]http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_35.gif[/img]
                                  初始值：[img]http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_36.gif[/img]，得到 [img]http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_37.gif[/img]，那么
                                  [img]http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_38.gif[/img]
                                  如果 [img]http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_39.gif[/img] 则 [img]http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_40.gif[/img]，令 [img]http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_41.gif[/img]，得出 [img]http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_42.gif[/img]。
                                  狗在 [img]http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_43.gif[/img]追上兔子，需时 [img]http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_44.gif[/img]。

                                    如果 [img]http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_45.gif[/img] 则 [img]http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_46.gif[/img]。当 [img]http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_47.gif[/img]，[img]http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_48.gif[/img]，狗追不上兔子。

                                    第二种情形：[img]http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_49.gif[/img]，[img]http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_50.gif[/img]。（6）式变成 [img]http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_51.gif[/img]

[img]http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_52.gif[/img]

                                    初始值：[img]http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_36.gif[/img]，得 [img]http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_53.gif[/img]，则

[img]http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_54.gif[/img]

                                    当 [img]http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_47.gif[/img] 时，同样有 [img]http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_48.gif[/img]，因此狗也追不上兔子。

                                    不过，[img]http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/images_02/ex35_55.gif[/img] 狗追不上兔子是常识。

狗之所以追不上兔子是因为他眼里只有兔子,而没有找到自己的方向

一个格言
You’re too concerned with what was and whatwill be, there is a saying. Yesterday is history, tomorrow is mystery. Buttoday is a gift. That is why it’s called the present.