假设两个赌博者（德.梅勒和他的一个朋友）每人出30个金币，两人各自选取一个点数，谁选择的点数首先被掷出3次，谁就赢得全部
的赌注。在游戏进行了一会儿后，德.梅勒选择的点数“5”出现了2次，而他的朋友选择的点数“3”只出现了一次。这时候，德.梅勒
由于一个紧急事情必须离开，游戏不得不停止。他们该如何分配赌桌上的60个金币的赌注呢？
德.梅勒的朋友认为，既然掷出他选择的点数的机会是德.梅勒的一半，那么他该拿到德.梅勒所得的一半，即他拿20个金币，德.梅勒拿40个金币。然而德.梅勒争执到：再掷一次骰子，对他来说最糟糕的事是他将失去他的优势，游戏是平局，每人都得到相等的30个金币；但如果掷出的是“5”，他就赢了，并可拿走全部的60个金币。在下一次掷骰子之前，他实际上已经拥有了30个金币，他还有50%的机会赢得另外30个金币，所以，他应分得45个金币。
他们对这一问题的看法和计算方法不一致，为此而争论不休。后来德.梅勒把这个问题告诉了帕斯卡，帕斯卡对此也很感兴趣，又写信告诉了费马。于是在这两位伟大的法国数学家之间开始了具有划时代意义的通信。在通信中，两人用不同的方法正确地解决了这个问题。在1654年7月29日，帕斯卡写给费马的信中，他提到了这个问题和可能的解决方法，“你的解法非常正确，是给我印象最深的一个，但这些组合太过麻烦。我发现了另一种更为简洁的实在可行的解法。”在1654年10月21日他写给费马的信中提到，当他们互不赞同的时候，能这样通信，保持一致是鼓舞人心的。他说：“先生，您的最后一封信让我非常满意，您有关‘点问题’的解法我很钦佩。更是因为我非常理解它完全是属于你的，它与我的解法完全不同，然而却轻易的得到了同样的结果，现在我们又开始和睦了。”在1654年7月和10月的通信中，他们还联系“点问题”思考了其他的问题，比如当两人的技艺不等时，或超过2人参加游戏的赌金的分配问题。尤其是帕斯卡的研究更有效地推动了数学概率理论的发展，他的组合方法具有一般性。他的工作中还蕴涵了概率论中另一重要的思想——数学期望的思想。
现在我们回顾以下两位大家对该问题讨论的经过
费马的方法是列出赌局继续下去时可能出现的所有情况。例如，在三点的情形中，设甲乙各出相同赌注若干，甲已经赢了2点、乙已经赢了1点，此时中止赌博。要求甲、乙各应得赌金多少。费马将后面两局的所有情形列出：
1、甲赢第一、第二局；
2、甲赢第一局，乙赢第二局；
3、乙赢第一局，甲赢第二局；
4、乙赢第一、第二局。
在前面三种情形，甲最终胜出；在第四种情形，乙最终胜出。因此甲、乙应得赌金之比为3:1。
帕斯卡写给费马的第一封信已不复存在。在1654年7月29日给费马的回信中，帕斯卡给出了点数问题的解法。帕斯卡所用的是“期望值方法”。他先考虑3点的情形。设甲、乙各下注32 pistols，并且甲已经赢了2点，乙已经赢了1点。下一局中，如果甲赢，则他将获得所有的赌注（64 pistols）；如果乙赢，则两者都得2点，此时两者赢得下一局的机会均等，每人各应取32 pistols。因此，如果甲赢，则甲将获得64 pistols；如果他甲输，则甲将获得32 pistols。这样，如果赌博中止，甲可以对乙说：“即使我输了下一局，我也总能得到32 pistols；至于另外32 pistols，或许我得或许你得；我们的机会是均等的。因此我们应该平分这32 pistols。”因此甲应得48 pistols，乙应得16 pistols。
再假设甲已经赢了2点，乙一点未赢。下一局中，如果甲赢，甲将得到全部64 pistols；如果乙赢，则出现了上面讨论过的情形：甲应得48 pistolss。因此，如果赌博中止，甲可以对乙说：“如果我赢了下一局，我就应得64 pistols；如果我输了下一局，我就应得48 pistols。给我必得的48 pistols，平分另外的16 pistols，因为赢得下一点的机会是均等的。”因此甲应得56 pistols，乙应得8 pistols。
最后，假设甲已经赢了1点，乙一点未赢。下一局中，如果甲赢，则出现了上面讨论的第二种情形：甲应得56 pistols；如果乙赢，则两者各得1点，各应得32 pistols。因此，如果赌博中止，甲可以对乙说：“给我必得的32 pistols，平分56 pistols中的剩余部分（24 pistols）。”因此甲应得44 pistols，乙应得20 pistols。
接着，帕斯卡给出两个一般结果，用我们今天的记号表示，即
（1）设甲、乙各出赌注A；约定的点数为n+1。设甲已经赢了n点，乙一点未赢。如果赌博终止，则甲应得2A-(A/2^n)
（2）设甲、乙各出赌注A；约定的点数为n+1。设甲已经赢了1点，乙一点未赢。如
果赌博终止，则甲应得A+A×{[1×3×5×...(2n-1)]/2×4×6×...×2n}。
费马的回信已不复存在。帕斯卡的第二封信写于1654年8月24日。信中帕斯卡给出费马方法的一个例子：设有甲、乙二人赌博，甲需要再赢2点、乙需要再赢3点，才能最终胜出。此时中止赌博。如果接着再赌4局，总能决出胜负。取字母a和b分别a表示甲和乙赢一局的情形，则4局的所有16种情形如下：
a a a a a b a a b a a a b b a a
a a a b a b a b b a a b b b a b
a a b a a b b a b a b a b b b a
a a b b a b b b b a b b b b b b
其中11种情形是甲胜出，5种情形是乙胜出。因此甲、乙所得赌金之比应为11:5。
帕斯卡将上述方法告诉数学家罗伯瓦尔（G. P. de Roberval, 1602～1675），罗伯瓦尔提出了异议：上述方法是以再赌4局的假设为前提的，但实际上很可能2局就够了（甲先赢两局）。帕斯卡在信中对此作了解释。接着，帕斯卡将费马的方法应用于三个人的点数问题：甲、乙、丙三人赌博，设甲需再赢1点、乙和丙各需再赢2点，才能最终胜出，此时中止赌博。则再赌三局，总能决出胜负。取字母a、b和c，分别表示甲、乙和丙赢一局的情形。则3局的所有27种情形如下：
a a a b a a c a a
a a b b a b c a b
a a c b a c c a c
a b a b b a c b a
a b b b b b c b b
a b c b b c c b c
a c a b c a c c a
a c b b c b c c b
a c c b c c c c c
帕斯卡看到：只有甲胜的情形共有13种（a出现两次或三次，以及a、b、c各出现一次）；甲、乙都获胜的情形有3种（a出现一次，b出现两次）；甲、丙都获胜的情形有3种（a出现一次，c出现两次）；因此甲获胜的情形共有13+3/2+3/2=16种。只有乙胜的情形共有4种（即bbb、cbb、bcb、bbc），因此乙获胜的情形共有5.5种；类似地，丙获胜的情形也有5.5种。因此甲、乙、丙所得赌金之比应为16: 5.5:5.5 。
然而，帕斯卡指出上述比例是不正确的，利用他自己的“期望值方法”得出的比例为17:5:5。帕斯卡错误地认为，利用两种方法所得结果的差异是由于费马方法中假定必须再赌三局造成的（他自己的方法中没有作此假定）。这于他对罗伯瓦尔异议的解释相矛盾。
在1654年8月29日写给帕斯卡的信中，费马指出，上述三人点数问题的正确解是17:5:5。同一信中，费马顺便还告诉帕斯卡自己发现的一个“定理”：形如 （n为非负整数）的正整数都是素数。他写道：2的平方加1为5，是素数；2 的平方的平方加1为17，是素数；16的平方加1为257，是素数；256的平方加1为65537，是素数；如此以至无穷。不过他承认，“定理”的证明很难，他还没有完全找到。后来，欧拉证明了 为合数，从而证明了费马通过不完全归纳法得到的命题是错误的。
1654年8月29日，费马再次写致信帕斯卡，指出了帕斯卡的错误：帕斯卡在信中曾认为acc这样的情形表示甲和丙同时获胜，但实际上它应表示只有甲胜；因为甲先赢1点时，胜负已经决出。因此，利用他的方法得出的结果仍是17:5:5，与利用帕斯卡方法所得出的结果完全一致。帕斯卡因费马解决点数问题的方法与自己的方法完全一致而感到十分满意，他于1654年10月27日给费马回了信。
在《论算术三角形》中，帕斯卡将算术三角形应用于点数问题。设甲需再赢m点、乙需再赢n点，才能最终胜出，此时终止赌博。则甲、乙二人应得赌金之比为算术三角形中第m+n条底边上位于前n行的n个单元之和与最后m行上的m个单元之和的比，用今天的组合数符号表示，即
帕斯卡是利用数学归纳法来证明上述结果的。[p:1]
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